Blog
Tajemnicze Ciągi Fibonacciego
Czy może być coś niezwykłego w ciągu liczb? Przeciętny człowiek powie, że nie, bo co wyjątkowego mogą przedstawiać poukładane obok siebie liczby? Jednak wtajemniczeni w świat nauki i matematyki ludzie powiedzą, że wszystko! W liczbach ciągu Fibonacciego nie byłoby nic może nadzwyczajnego, gdyby nie fakt, że wstępują one wszędzie wokół nas. W matematyce, muzyce, fizyce, sztuce, architekturze, przyrodzie i inżynierii.
Ciąg Fibonacciego, złoty podział i złota liczba
Leonardo Fibonacci był włoskim matematykiem, który żył w przełomie 1175-1250 roku, pochodził z Pizy. Uważał, że liczba 0 jest pierwszą liczbą naturalną. Zajmował się rozkładem liczb na czynniki pierwsze, dzięki niemu posługujemy się cyframi arabskimi. To on podał wzór określający kolejne liczby w ciągu, który znamy pod nazwą Ciągu Fibonacciego.
W ciągu liczb naturalnych pierwsze dwa wyrazy są równe 1, a każdy następny wyraz (zwany liczbą Fibonacciego) powstaje suma dwóch poprzednich, czyli 1 +1 = 2; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8 aż do nieskończoności.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Sam ciąg posiada kilka intrygujących właściwości. Jeśli podzielimy przez siebie dowolne, kolejne dwa wyrazy z ciągu, np. 377 : 233; 34 : 21 to stosunek tych liczb będzie równy tej samej liczbie, w przybliżeniu 1,618.
Im większe liczby z serii ciągu podzielimy, tym dokładniejszy będzie stosunek tych liczb. Przybliżenie to nazywamy złotą liczbą, jest ono oznaczane grecką literę φ (czytamy „fi”). Stosunek tego podziału nazywa się także mianem złotego podziału lub boskiej proporcji. Warto tu także nawiązać o spirali Fibonacciego. Jest to szczególny przypadek, tak zwana złota spirala, której szerokość zwiększa się lub zmniejsza o 90 stopni dokładnie φ razy. Przykład ilustracji spirali mamy na zdjęciu poniżej.
Ciąg Fibonacciego w świecie przyrody
Chyba każdy z nas będąc dzieckiem, bawił się w zabawę szukania czterolistnej koniczyny i przekonał się, jak bardzo ciężko jest ją znaleźć. Odpowiedź na ten sekret tkwi właśnie w matematyce. W większości przypadków zdrowy wyrośnięty kwiat, bez mutacji posiada liczbę płatków, która należy do ciągu Fibonacciego. Według złotej proporcji odbywa się proces rośnięcia całej rośliny. Dlatego złotą spiralę znajdziemy w większości roślin.
- w słonecznikach
- stokrotkach
- w szyszkach
- ananasach
- kapuście
- brokułach
- kalafiorze
Kolejnym zjawiskiem jest tak zwana spirala filotaksją (ulistnieniem), które cechuje bardzo dużo gatunków drzew. Mam tutaj na myśli drzewa o strukturze gałęzi układających się spiralnie wokół pnia.
Gdybyśmy oznaczyli numerami gałęzie zgodnie z ich wysokością, na której wyrastały, to stwierdzimy, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczba Fibonacciego. Zasada spiralnej filotaksji występuje także w świecie roślin, gdzie rosnące liście wzajemnie się przykrywają. W ten sposób rośliny mogą optymalnie wykorzystać przestrzeń, energię słoneczną oraz zebrać odpowiednią ilość deszczu.
Kolejnym przykładem spirali w przyrodzie są muszle.
Gdy spojrzymy na przekrój muszli, to od razu widać, że jest ona ułożona spiralnie i posiada wiele komór. Każda kolejna komora jest większa tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Ciąg Fibonacciego znajdziemy także np. w budowie delfina. Poszczególne elementy jego ciała (ogon, płetwy, oczy) są w odstępach zgodnych z kolejnymi liczbami zbioru. Dodatkowo średnica części ogonowej delfina jest w złotej proporcji w stosunku do jego górnej połowy ciała. W świecie przyrody zgodnie ze złotą proporcją występują także huragany i galaktyki spiralne.
Ciąg Fibonacciego w ciele człowieka
1,2 i 5 to liczby, które są najbliższe naszemu organizmowi. Posiadamy dwie kończyny dolne, dwie górne, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), pięć zmysłów, trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy. Liczbę fi i złoty podział znajdziemy także w proporcjach naszego ciała, które nie są tak idealnie zachowane, ale można powiedzieć, że są bardzo zbliżone. Stosunek wzrostu człowieka od odległości od stóp do pępka wynosi liczbę id (1,618). Ten sam stosunek znajdziemy w odległości od koniuszków palców do łokci, od odległości od łokcia do nadgarstka, od ramion do czubka głowy, od pępka do czubka głowy, od kolana do pępka, od kolana do stopy. Patrzą dalej mamy dwoje rąk, które składają się z pięciu palców. Osiem palców składa się z 3 paliczków, a dwa kciuki składają się z dwóch paliczków. Stosunek długości środkowego palca do małego też równa się liczbie fi, którą też znajdziemy w rysach naszej twarzy.
Ma to głownie znaczenie w proporcji szerokości dwóch przednich zębów do ich wysokości. Stosunku wysokości twarzy do jej szerokości, wysokości twarzy do odległości od brwi do podbródka, szerokości ust do podstawy nosa.
Złote proporcje znajdziemy nawet w spiralach naszego DNA. Cząstka DNA posiada 34 jednostki długości na 21 jednostek szerokości dla każdego odcinka podwójnej spirali. Liczby tę zawierają się w elementach ciągu Fibonacciego, stosunek między nimi wynosi liczbę fi.
Ciąg Fibonacciego w sztuce, architekturze i muzyce
Zależności pomiędzy pojedynczymi dźwiękami w muzyce opierają się na matematycznych prawach, co za tym idzie, zawierają w sobie zasady ciągu Fibonacciego i stosunek liczby fi.
Zakres słyszalnych dźwięków zaczyna się od 32 do 73700 drgań na sekundę. Dźwięki, które są w zakresie 60 do 33000 drgań, mają postać muzyczną. Odległości między jednym dźwiękiem a drugim nazywamy interwałami. Te najmilsze dla naszego ucha są na podstawie liczby fi.
Zapis nutowy kanonu D-Dur Pachelbela napisany jest według liczb Fibonacciego, a podobieństwo można zauważyć w wielu współczesnych utworach (The Beatles – Let It Be, U2 – With or Without You, Green Day – Basket Case, Green Day – Basket Case).
Duża część sonat Amadeusza Mozarta podzielona była na dwie części z zachowaniem złotego podziału. Z tej formy korzystał też Antonio Stradivarius podczas produkcji swoich najlepszych wiolonczeli.
Starożytni Grecy wiedzieli już o złotej proporcji przed odkryciem jej przez Fibonacciego i zbudowali na jej podstawie ateński Partenon. Tę samą zasadę wykorzystywali Egipcjanie podczas konstruowania piramid. Kiedy podzielimy boczną ścianę piramidy przez połowę, podstawy otrzymamy w przybliżeniu liczbę fi.
W sztuce także nie mało znajdziemy przykładów użycia ciągów, rzeźba Wenus z Milo, Ostatnia Wieczerza, Narodziny Wenus, Mona Lisa. Zależności ciągów znajdziemy też we współczesnych logach marek takich jak BP, National Geographic, Google, Toyota, Apple, Pepsi.
Ciąg Fibonacciego w religii
Niektórzy nawet doszukują się ciągu Fibonacciego w kontekście religijnym. Jednak niektórzy badacze twierdzą, że są to dopatrywania wymuszone, stąd tę część artykuły pozostawiliśmy na sam koniec naszych rozważań:
- Arka przymierza – Według źródeł jej długość miała wynosić 2,5 łokcia, szerokość i wysokość 1,5 łokcia. Oczywiście te liczby podzielone przez siebie także dają liczbę fi w przybliżeniu.
- Arka Noego – 50 łokci szerokości, 30 łokci wysokości, podzielone te wartości także dają liczbę fi.
- W Biblii pokoleń Izraela jest 12. Które podniesione do potęgi drugiej daje liczbę z ciągu 144.
Możliwe, że doszukiwanie się wszędzie zależności i zasad ciągu Fibonacciego. Może wydawać się to absurdalne, to z drugiej strony trzeba przyznać, że podobieństw jest więcej nisz samych różnic. W wielu przypadkach zachowana jest też złota proporcja, więc można stwierdzić, że królowa nauk matematyka chyba jest znowu nieomylna.
